كــثيــر حـــدود من الدرجة الثــالثـة

درس جد مهم حيث سيتم التعرف على كثير حدود وكيفية دراسة الدالة من هذا الشكل

هندســـيا:

 الدالة كثير حدود غالبا ما نجد فيها ثلاث حلول أي تقطع محور الفواصل في ثلاث نقاط أي تأخذ جهتين تحت محور الفواصل أي قيم سالبة وتأخذ جهتين فوق محور الفواصل أي قيم موجبة. أنظر الشكل:

كثير حدود من الدرجة الثالثة:

نقول عن دالة انها كثير حدود من الدرجة الثالثة كل دالة معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بالشكل:

  

أمثلة:

 كل دالة كثير حدود تحوي إكس مكعب كحد أكبر نقول عنها أنها من الدرجة الثالثة

 

 إشارة كثير حدود من الدرجة الثالثة

إيجاد الحلول للعبارة كثير حدود من الدرجة الثالثة ولأنه لا يمكن او لا نستطيع إيجاد الحلول مباشرة نقوم بتحليل العبارة الى جداء كثير حدود من الدرجة الأولى × كثير حدود من الدرجة الثانية. ويذالك سيسهل علينا إيجاد الحلول للمعادلة بهاته الطريقة بحيث يجب أن نجد الجذر ألفا.

الجذر ألفا:

يعتبر الجذر ألفا الحل الأول للمعادلة والذي من خلاله نفرق العبارة الى جداء. قد يعطى في التمرين او قد يلمح عنه في السؤال او قد نكتشفه من خلال تعويضنا ل إكس بقيم غالبا ما تكون قريبة من الصفر. ثم تصبح العبارة على الشكل التالي:

بهاته العبارة يمكننا إيجاد الحلول ببساطة بما أنها جداء فنقول ان إكس ناقص ألفا يساوي الصفر فنجد أن الحل الذي هو الألفا

نضع أيضا أه إكس مربع زائد بي إكس زائد سي تساوي الصفر ونجد الحلين بالمميز دالتا.  

تحليل عبارة من الدرجة الثالثـــة

هنالك ثلاث طرق لتحليل كثير حدود من الدرجة الثالثة وهي:

1/ القسمة الإقليدية  

2/ المطابقة

3/ خوارزمية هورنـر

الطرق الثلاث سهلة فبعد توصلنا إلى الحل الأول الذي هو الجذر ألفا يمكننا التوصل الى إيجاد الأه والبي والسي من العبارة الثانية التي هي كثير حدود من الدرجة الثانية ببساطة.

(كل طالب يعتمد على أحد الطرق الثلاث التي تساعده على إيجاد الحلول ).

في هذا الدرس سنستعمل وسنتعلم طريقة القسمة الإقليدية.

القسمة الإقليدية:

قسمة كثير حدود من الدرجة الثالثة على كثير حدود من الدرجة الاولى يعطي لنا كثير حدود من الدرجة الثانية والذي يوصلنا لقيم أه وبي وسي مع الباقي يجب أن يكون يساوي الصفر. فإذا كان الباقي لا يساوي الصفر فإنه حدث خطأ في العمليات فنعيد حسابتنا فقط.

 

لنقم بحل هذا التمرين الذي يساعدنا على الفهم أكثرو أكثر

 

تمريــــــــــــــــــــــــن:

 الدالة f معرفة علىR حيث:

1/ أحسب  (2-)f ماذا تستنتج؟

2/ أدرس إشارة الدالة

 

 الحــــــــــل:

حساب (2-)f :

نحسب (2-)f  نجدها تساوي الصفر ومنه نستنتج أن 2- جذر لــ f ثم نكتب الدالة على الشكل:  

ثم مباشرة نستعمل القسمة الإقليدية لإيجاد الأه و البي و السي

نقسم الحد الأكبر على الحد الأكبر فنجد الحاصل فنضرب الحاصل في كلا الحدين للقاسم ثم ننقص المقسوم من الناتج الذي وجدناه فتخرج لنا عبارة أخرى فنعيد نفس العملية حتى نتوصل إلى الباقي صفر

تصبح لنا الدالة f بالعبارة الجديدة بهذا بالشكل:

يمكننا الأن إيجاد الحلول الثلاث فنحل المعادلة:

الدالة بما أنها جداء فنضع العبارة الأولى تساوي الصفر فنجد x يساوي 2-

 والعبارة كثير حدود من الدرجة الثانية نجد حلولها عن طريق المميز دالتا

 

نجد  الحلول الثلاثة التي هي ناقص اثنان و ناقص خمسة على اثنان و اثنان فيمكننا الأن رسم جدول الإشارة

 

 

 

 

 

جدول الإشــارة:

جدول إشارة الدالة أف يكون بعد رسم جدولي الإشارة لكل من الدالتين اللتان وجدناهما

ثم بعملية ضرب الإشارات نجد إشارة الدالة أف ونرسم جدول الإشارة

دراسة الوضع النسبي :

الوضع النسبي لمنحنى الدالة بالنسبة لمحور الفواصل كما قلنا دائما يقع المنحنى فوق محور الفواصل إذا كانت الدالة موجبة و يقع تحت محور الفواصل إذا كانت الدالة سالبة ويقطع محور الفواصل في حلول الدالة و نرسم الجدول التالي:

 كان هذا درس اليوم أرجو أنكم فهمتم جيدا 

لتحميل التمرين مع الحل من هنا 

لتحميل ملف الدرس من هنا